Vyriešiť ∫ (from 1 to 2) of y-1/y wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } y - \frac { 1 } { y } d y$$

Vyhodnotiť

$$\frac{3}{2}-\ln(2)\approx 0,806852819$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int y-\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -\frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int y\mathrm{d}y-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Keďže \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int y\mathrm{d}y s \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y$$

Ak chcete získať výsledok, použite \int \frac{1}{y}\mathrm{d}y=\ln(|y|) z tabuľky spoločných integrálov.

$$\frac{y^{2}}{2}-\ln(|y|)$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{2^{2}}{2}-\ln(|2|)-\left(\frac{1^{2}}{2}-\ln(|1|)\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{3}{2}-\ln(2)$$