Vyriešiť ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Vyhodnotiť

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Zapíšte \frac{1}{\sqrt{x}} ako výraz x^{-\frac{1}{2}}. Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x s \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Zjednodušiť a konvertovať z exponenciálneho tvaru na radikálny.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Zjednodušte.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$