Vyriešiť ∫ (from 0 to a) of (a^3-x^3) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { a } ( a ^ { 3 } - x ^ { 3 } ) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{3a^{4}}{4}$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int a^{3}-x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int a^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{3}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int a^{3}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál a^{3} pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$a^{3}x-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$a^{3}x-\frac{x^{4}}{4}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$a^{3}a-\frac{a^{4}}{4}-\left(a^{3}\times 0-\frac{0^{4}}{4}\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{3a^{4}}{4}$$

Derivovať podľa a

$$3a^{3}$$