Vyriešiť ∫ (from 0 to 3) of 4x-x^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } 4 x - x ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotiť

$$9$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 4x-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$4\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$2\times 3^{2}-\frac{3^{3}}{3}-\left(2\times 0^{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Zjednodušte.

$$9$$