Vyriešiť ∫ (from 0 to 3) of [(x+2)-x(x+2)(x+4)] wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 3 } [ ( x + 2 ) - x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ] d x$$

Vyhodnotiť

$$-\frac{399}{4}=-99,75$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+2.

$$\int _{0}^{3}x+2-\left(x^{2}+2x\right)\left(x+4\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu x^{2}+2x každým členom výrazu x+4.

$$\int _{0}^{3}x+2-\left(x^{3}+4x^{2}+2x^{2}+8x\right)\mathrm{d}x$$

Skombinovaním 4x^{2} a 2x^{2} získate 6x^{2}.

$$\int _{0}^{3}x+2-\left(x^{3}+6x^{2}+8x\right)\mathrm{d}x$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{3}+6x^{2}+8x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$\int _{0}^{3}x+2-x^{3}-6x^{2}-8x\mathrm{d}x$$

Skombinovaním x a -8x získate -7x.

$$\int _{0}^{3}-7x+2-x^{3}-6x^{2}\mathrm{d}x$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int -7x+2-x^{3}-6x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int -7x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x+\int -x^{3}\mathrm{d}x+\int -6x^{2}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$-7\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x-6\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -7 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{7x^{2}}{2}+\int 2\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x-6\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 2 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{7x^{2}}{2}+2x-\int x^{3}\mathrm{d}x-6\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$-\frac{7x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{4}}{4}-6\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo -6 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{7x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{4}}{4}-2x^{3}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$-\frac{7}{2}\times 3^{2}+2\times 3-\frac{3^{4}}{4}-2\times 3^{3}-\left(-\frac{7}{2}\times 0^{2}+2\times 0-\frac{0^{4}}{4}-2\times 0^{3}\right)$$

Zjednodušte.

$$-\frac{399}{4}$$