Vyriešiť ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Vyhodnotiť

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Keďže \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int r\mathrm{d}r s \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Keďže \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int r^{2}\mathrm{d}r s \frac{r^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Zjednodušte.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Derivovať podľa x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$