Vyriešiť ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{49}{3}\approx 16,333333333$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(2x+3\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}+12x+9\mathrm{d}x$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 4x^{2}+12x+9\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int 12x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x+12\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+12\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 12 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+6x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 9 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}+6x^{2}+9x$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{4}{3}\times 1^{3}+6\times 1^{2}+9\times 1-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}+6\times 0^{2}+9\times 0\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{49}{3}$$