Vyriešiť ∫ (from - 1 to 1) of (x^2+x-1) wrt x

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( x ^ { 2 } + x - 1 ) d x$$

Vyhodnotiť

$$-\frac{4}{3}\approx -1,333333333$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{2}+x-1\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x+\int -1\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int -1\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál -1 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-x$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{2}}{2}-1-\left(\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\left(-1\right)\right)$$

Zjednodušte.

$$-\frac{4}{3}$$