Vyriešiť ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Vyhodnotiť

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie 1-y a y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Keďže \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int y\mathrm{d}y s \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Keďže \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int y^{2}\mathrm{d}y s \frac{y^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Zjednodušte.

$$-\frac{2}{3}$$