Vyriešiť ∫ 3x^3(x^5+7)^2 wrt x

$$\int 3 x ^ { 3 } ( x ^ { 5 } + 7 ) ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x^{5}+7\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int 3x^{3}\left(\left(x^{5}\right)^{2}+14x^{5}+49\right)\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 5 a 2 dostanete 10.

$$\int 3x^{3}\left(x^{10}+14x^{5}+49\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3x^{3} a x^{10}+14x^{5}+49.

$$\int 3x^{13}+42x^{8}+147x^{3}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 3x^{13}\mathrm{d}x+\int 42x^{8}\mathrm{d}x+\int 147x^{3}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$3\int x^{13}\mathrm{d}x+42\int x^{8}\mathrm{d}x+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{13}\mathrm{d}x s \frac{x^{14}}{14}. Vynásobte číslo 3 číslom \frac{x^{14}}{14}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+42\int x^{8}\mathrm{d}x+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{8}\mathrm{d}x s \frac{x^{9}}{9}. Vynásobte číslo 42 číslom \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 147 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}+С$$

Derivovať podľa x

$$3x^{3}\left(x^{5}+7\right)^{2}$$