Vyriešiť ∫ (x^2+2)^3

$$\int ( x ^ { 2 } + 2 ) ^ { 3 }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+8x+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x^{2}+2\right)^{3} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$\int \left(x^{2}\right)^{3}+6\left(x^{2}\right)^{2}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 3 dostanete 6.

$$\int x^{6}+6\left(x^{2}\right)^{2}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$\int x^{6}+6x^{4}+12x^{2}+8\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 6x^{4}\mathrm{d}x+\int 12x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1 nahraďte \int x^{6}\mathrm{d}x \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{x^{7}}{7}+6\int x^{4}\mathrm{d}x+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1 nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x \frac{x^{5}}{5}. Vynásobte číslo 6 číslom \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+12\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1 nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 12 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+\int 8\mathrm{d}x$$

Nájsť integrál 8 pomocou tabuľky spoločných integrálov \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}+4x^{3}+8x$$

Zjednodušte.

$$8x+4x^{3}+\frac{6x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Ak je F\left(x\right) protiderivátom f\left(x\right), skupina všetkých antiderivátov f\left(x\right) je daná F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštantu integrácie C\in \mathrm{R} k výsledku.

$$8x+4x^{3}+\frac{6x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+С$$

Derivovať podľa x

$$\left(x^{2}+2\right)^{3}$$