Vyriešiť ∫ (5x^3+4)^2(15x^2+4) wrt x

$$\int ( 5 x ^ { 3 } + 4 ) ^ { 2 } ( 15 x ^ { 2 } + 4 ) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+80x^{3}+64x+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(5x^{3}+4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int \left(25\left(x^{3}\right)^{2}+40x^{3}+16\right)\left(15x^{2}+4\right)\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 3 a 2 dostanete 6.

$$\int \left(25x^{6}+40x^{3}+16\right)\left(15x^{2}+4\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 25x^{6}+40x^{3}+16 a 15x^{2}+4.

$$\int 375x^{8}+100x^{6}+600x^{5}+160x^{3}+240x^{2}+64\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 375x^{8}\mathrm{d}x+\int 100x^{6}\mathrm{d}x+\int 600x^{5}\mathrm{d}x+\int 160x^{3}\mathrm{d}x+\int 240x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$375\int x^{8}\mathrm{d}x+100\int x^{6}\mathrm{d}x+600\int x^{5}\mathrm{d}x+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{8}\mathrm{d}x s \frac{x^{9}}{9}. Vynásobte číslo 375 číslom \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+100\int x^{6}\mathrm{d}x+600\int x^{5}\mathrm{d}x+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{6}\mathrm{d}x s \frac{x^{7}}{7}. Vynásobte číslo 100 číslom \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+600\int x^{5}\mathrm{d}x+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{5}\mathrm{d}x s \frac{x^{6}}{6}. Vynásobte číslo 600 číslom \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 160 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 240 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+80x^{3}+\int 64\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 64 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+80x^{3}+64x$$

Zjednodušte.

$$80x^{3}+64x+100x^{6}+40x^{4}+\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$80x^{3}+64x+100x^{6}+40x^{4}+\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+С$$

Derivovať podľa x

$$\left(15x^{2}+4\right)\left(5x^{3}+4\right)^{2}$$