Vyriešiť ∫ (5+x^2)^3 wrt x

$$\int ( 5 + x ^ { 2 } ) ^ { 3 } d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{7}}{7}+3x^{5}+25x^{3}+125x+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(5+x^{2}\right)^{3} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$\int 125+75x^{2}+15\left(x^{2}\right)^{2}+\left(x^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$\int 125+75x^{2}+15x^{4}+\left(x^{2}\right)^{3}\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 3 dostanete 6.

$$\int 125+75x^{2}+15x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 125\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x+\int 15x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int 125\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x+15\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 125 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$125x+75\int x^{2}\mathrm{d}x+15\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 75 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$125x+25x^{3}+15\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x s \frac{x^{5}}{5}. Vynásobte číslo 15 číslom \frac{x^{5}}{5}.

$$125x+25x^{3}+3x^{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{6}\mathrm{d}x s \frac{x^{7}}{7}.

$$125x+25x^{3}+3x^{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{x^{7}}{7}+3x^{5}+25x^{3}+125x+С$$

Derivovať podľa x

$$\left(x^{2}+5\right)^{3}$$