Vyriešiť ∫ (3x+2)^3

$$\int ( 3 x + 2 ) ^ { 3 }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{\left(3x+2\right)^{4}}{12}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(3x+2\right)^{3} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$\int 27x^{3}+54x^{2}+36x+8\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 27x^{3}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 36x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$27\int x^{3}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 27 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 54 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 36 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 8 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x+С$$

Derivovať podľa x

$$\left(3x+2\right)^{3}$$