Vyriešiť ∫ [(x+1)^2-(x-1)^2] wrt x

$$\int [ ( x + 1 ) ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 } ] d x$$

Vyhodnotiť

$$2x^{2}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int x^{2}+2x+1-\left(x-1\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int x^{2}+2x+1-\left(x^{2}-2x+1\right)\mathrm{d}x$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}-2x+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$\int x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1\mathrm{d}x$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$\int 2x+1+2x-1\mathrm{d}x$$

Skombinovaním 2x a 2x získate 4x.

$$\int 4x+1-1\mathrm{d}x$$

Odčítajte 1 z 1 a dostanete 0.

$$\int 4x\mathrm{d}x$$

Na vyčlenenie konštanty použite \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$4\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$2x^{2}+С$$

Derivovať podľa x

$$4x$$