Vyriešiť ∫ [a^2-5a+6/a^2+7a+6:(2a+10/a+1-a-1)+1/a+3]*2a^2+5a-3/2a^2

$$\int [ \frac { a ^ { 2 } - 5 a + 6 } { a ^ { 2 } + 7 a + 6 } : ( \frac { 2 a + 10 } { a + 1 } - a - 1 ) + \frac { 1 } { a + 3 } ] \cdot \frac { 2 a ^ { 2 } + 5 a - 3 } { 2 a ^ { 2 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{8ax-4x}{\left(a+6\right)a^{2}}+С$$

Postup riešenia

Ak chcete výrazy sčítavať alebo odčítavať, musíte ich rozložiť tak, aby mali rovnakého menovateľa. Vynásobte číslo -a-1 číslom \frac{a+1}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10}{a+1}+\frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Keďže \frac{2a+10}{a+1} a \frac{\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1} majú rovnakého menovateľa, sčítajte ich sčítaním čitateľov.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right)}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vynásobiť vo výraze 2a+10+\left(-a-1\right)\left(a+1\right).

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{2a+10-a^{2}-a-a-1}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Zlúčte podobné členy vo výraze 2a+10-a^{2}-a-a-1.

$$\int \left(\frac{\frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6}}{\frac{9-a^{2}}{a+1}}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vydeľte číslo \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} zlomkom \frac{9-a^{2}}{a+1} tak, že číslo \frac{a^{2}-5a+6}{a^{2}+7a+6} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{9-a^{2}}{a+1}.

$$\int \left(\frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Rozložte výrazy, ktoré ešte nie sú rozložené na faktory, vo výraze \frac{\left(a^{2}-5a+6\right)\left(a+1\right)}{\left(a^{2}+7a+6\right)\left(9-a^{2}\right)}.

$$\int \left(\frac{\left(a-3\right)\left(a-2\right)\left(a+1\right)}{\left(a-3\right)\left(-a-3\right)\left(a+1\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vykráťte \left(a-3\right)\left(a+1\right) v čitateľovi aj v menovateľovi.

$$\int \left(\frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)}+\frac{1}{a+3}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Ak chcete výrazy sčítavať alebo odčítavať, musíte ich rozložiť tak, aby mali rovnakého menovateľa. Najmenší spoločný násobok čísiel \left(-a-3\right)\left(a+6\right) a a+3 je \left(a+3\right)\left(a+6\right). Vynásobte číslo \frac{a-2}{\left(-a-3\right)\left(a+6\right)} číslom \frac{-1}{-1}. Vynásobte číslo \frac{1}{a+3} číslom \frac{a+6}{a+6}.

$$\int \left(\frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}+\frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\right)\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Keďže \frac{-\left(a-2\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} a \frac{a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} majú rovnakého menovateľa, sčítajte ich sčítaním čitateľov.

$$\int \frac{-\left(a-2\right)+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vynásobiť vo výraze -\left(a-2\right)+a+6.

$$\int \frac{-a+2+a+6}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Zlúčte podobné členy vo výraze -a+2+a+6.

$$\int \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)}\times \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vynásobiť číslo \frac{8}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)} číslom \frac{2a^{2}+5a-3}{2a^{2}} tak, že sa vynásobí čitateľ čitateľom a menovateľ menovateľom.

$$\int \frac{8\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)\times 2a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vykráťte 2 v čitateľovi aj v menovateľovi.

$$\int \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Rozložte výrazy, ktoré ešte nie sú rozložené na faktory, vo výraze \frac{4\left(2a^{2}+5a-3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(a+3\right)\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Vykráťte a+3 v čitateľovi aj v menovateľovi.

$$\int \frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a 2a-1.

$$\int \frac{8a-4}{\left(a+6\right)a^{2}}\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie a+6 a a^{2}.

$$\int \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál \frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}} pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{8a-4}{a^{3}+6a^{2}}x$$

Zjednodušte.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{\left(8a-4\right)x}{a^{3}+6a^{2}}+С$$

Derivovať podľa x

$$\frac{4\left(2a-1\right)}{\left(a+6\right)a^{2}}$$