Vyriešiť x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -\frac{1}{2},1, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-1\right)\left(2x+1\right), najmenším spoločným násobkom čísla 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením x-1 a x-1 získate \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením 2x+1 a 2x+1 získate \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-1 a 2x+1 a zlúčenie podobných členov.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x^{2}-x-1 a 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Skombinovaním 4x^{2} a 6x^{2} získate 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Skombinovaním 4x a -3x získate x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Odčítajte 3 z 1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Odčítajte 10x^{2} z oboch strán.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Skombinovaním x^{2} a -10x^{2} získate -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Skombinovaním -2x a -x získate -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Pridať položku 2 na obidve snímky.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Sčítaním 1 a 2 získate 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -9 za a, -3 za b a 3 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Umocnite číslo -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 36 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Prirátajte 9 ku 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Opak čísla -3 je 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, keď ± je plus. Prirátajte 3 ku 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Vydeľte číslo 3+3\sqrt{13} číslom -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3\sqrt{13} od čísla 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Vydeľte číslo 3-3\sqrt{13} číslom -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -\frac{1}{2},1, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-1\right)\left(2x+1\right), najmenším spoločným násobkom čísla 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením x-1 a x-1 získate \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Vynásobením 2x+1 a 2x+1 získate \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Na rozloženie výrazu \left(x-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Na rozloženie výrazu \left(2x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-1 a 2x+1 a zlúčenie podobných členov.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2x^{2}-x-1 a 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Skombinovaním 4x^{2} a 6x^{2} získate 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Skombinovaním 4x a -3x získate x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Odčítajte 3 z 1 a dostanete -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Odčítajte 10x^{2} z oboch strán.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Skombinovaním x^{2} a -10x^{2} získate -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Skombinovaním -2x a -x získate -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Odčítajte 1 z oboch strán.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Odčítajte 1 z -2 a dostanete -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Vydeľte obe strany hodnotou -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Delenie číslom -9 ruší násobenie číslom -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-3}{-9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-3}{-9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Číslo \frac{1}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{6}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{6}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{6} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku \frac{1}{36} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Rozložte výraz x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{6} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$