Vyriešiť 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Riešenie pre x

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8,722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48,722813233$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -5,5, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-5\right)\left(x+5\right), najmenším spoločným násobkom čísla x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+5 a 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-5 a 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Zvážte \left(x-5\right)\left(x+5\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 5.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Odčítajte 25 z -300 a dostanete -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Odčítajte 60x z oboch strán.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Skombinovaním 20x a -60x získate -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Odčítajte -325 z oboch strán.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

Opak čísla -325 je 325.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

Sčítaním 100 a 325 získate 425.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, -40 za b a 425 za c.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 1600 ku 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3300.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Opak čísla -40 je 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte 40 ku 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Vydeľte číslo 40+10\sqrt{33} číslom -2.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10\sqrt{33} od čísla 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Vydeľte číslo 40-10\sqrt{33} číslom -2.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -5,5, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-5\right)\left(x+5\right), najmenším spoločným násobkom čísla x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+5 a 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-5 a 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Zvážte \left(x-5\right)\left(x+5\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Umocnite číslo 5.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Odčítajte 25 z -300 a dostanete -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Odčítajte 60x z oboch strán.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Skombinovaním 20x a -60x získate -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Odčítajte 100 z oboch strán.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

Odčítajte 100 z -325 a dostanete -425.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Vydeľte číslo -40 číslom -1.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Vydeľte číslo -425 číslom -1.

$$x^{2}+40x=425$$

Číslo 40, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 20. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 20. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Umocnite číslo 20.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Prirátajte 425 ku 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Rozložte x^{2}+40x+400 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Zjednodušte.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Odčítajte hodnotu 20 od oboch strán rovnice.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$