Vyriešiť frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Riešenie pre b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Kroky na riešenie rovníc s odmocninami

Preveďte menovateľa \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Zvážte \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Umocnite číslo 2. Umocnite číslo \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Odčítajte 5 z 4 a dostanete -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vynásobením 2+\sqrt{5} a 2+\sqrt{5} získate \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Sčítaním 4 a 5 získate 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vydelením čísla -1 dostaneme opačné číslo. Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9+4\sqrt{5}, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Preveďte menovateľa \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Zvážte \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Umocnite číslo 2. Umocnite číslo \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Odčítajte 5 z 4 a dostanete -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Vynásobením 2-\sqrt{5} a 2-\sqrt{5} získate \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Na rozloženie výrazu \left(2-\sqrt{5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Sčítaním 4 a 5 získate 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Vydelením čísla -1 dostaneme opačné číslo. Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9-4\sqrt{5}, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Odčítajte 9 z -9 a dostanete -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Skombinovaním -4\sqrt{5} a 4\sqrt{5} získate 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Odčítajte a z oboch strán.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Riešenie pre a (complex solution)

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

Riešenie pre b (complex solution)

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$arg(\frac{-a-18}{5})<\pi \text{ or }a=-18$$

Riešenie pre a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$