Vyriešiť 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt 2,3, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-3\right)\left(x-2\right), najmenším spoločným násobkom čísla x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-2 a 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-3 a 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Skombinovaním 2x a 3x získate 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Odčítajte 9 z -4 a dostanete -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 3x-9 a x-2 a zlúčenie podobných členov.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Odčítajte 3x^{2} z oboch strán.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Pridať položku 15x na obidve snímky.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Skombinovaním 5x a 15x získate 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Odčítajte 18 z oboch strán.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Odčítajte 18 z -13 a dostanete -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 20 za b a -31 za c.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 400 ku -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -20 ku 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Vydeľte číslo -20+2\sqrt{7} číslom -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{7} od čísla -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Vydeľte číslo -20-2\sqrt{7} číslom -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt 2,3, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-3\right)\left(x-2\right), najmenším spoločným násobkom čísla x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-2 a 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-3 a 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Skombinovaním 2x a 3x získate 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Odčítajte 9 z -4 a dostanete -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 3x-9 a x-2 a zlúčenie podobných členov.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Odčítajte 3x^{2} z oboch strán.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Pridať položku 15x na obidve snímky.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Skombinovaním 5x a 15x získate 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Pridať položku 13 na obidve snímky.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Sčítaním 18 a 13 získate 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Vydeľte číslo 20 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Vydeľte číslo 31 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Číslo -\frac{20}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{10}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{10}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{10}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Prirátajte -\frac{31}{3} ku \frac{100}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Prirátajte \frac{10}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$