Vyriešiť 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2,375+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2,375-1,452368755i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Zlomok \frac{-2}{3} možno prepísať do podoby -\frac{2}{3} vyňatím záporného znamienka.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Vynásobením \frac{1}{6} a -\frac{2}{3} získate -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -\frac{1}{9} a 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} a 2x+7 a zlúčenie podobných členov.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Odčítajte 3 z oboch strán.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

Odčítajte 3 z -\frac{35}{9} a dostanete -\frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -\frac{8}{9} za a, -\frac{38}{9} za b a -\frac{62}{9} za c.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Umocnite zlomok -\frac{38}{9} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Vynásobte zlomok \frac{32}{9} zlomkom -\frac{62}{9} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Prirátajte \frac{1444}{81} ku -\frac{1984}{81} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -\frac{20}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Opak čísla -\frac{38}{9} je \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, keď ± je plus. Prirátajte \frac{38}{9} ku \frac{2i\sqrt{15}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Vydeľte číslo \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} zlomkom -\frac{16}{9} tak, že číslo \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \frac{2i\sqrt{15}}{3} od čísla \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Vydeľte číslo \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} zlomkom -\frac{16}{9} tak, že číslo \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Zlomok \frac{-2}{3} možno prepísať do podoby -\frac{2}{3} vyňatím záporného znamienka.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Vynásobením \frac{1}{6} a -\frac{2}{3} získate -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -\frac{1}{9} a 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} a 2x+7 a zlúčenie podobných členov.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

Pridať položku \frac{35}{9} na obidve snímky.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

Sčítaním 3 a \frac{35}{9} získate \frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{8}{9}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Delenie číslom -\frac{8}{9} ruší násobenie číslom -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Vydeľte číslo -\frac{38}{9} zlomkom -\frac{8}{9} tak, že číslo -\frac{38}{9} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

Vydeľte číslo \frac{62}{9} zlomkom -\frac{8}{9} tak, že číslo \frac{62}{9} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

Číslo \frac{19}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{19}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{19}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{19}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

Prirátajte -\frac{31}{4} ku \frac{361}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

Rozložte x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Odčítajte hodnotu \frac{19}{8} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$