Vyriešiť frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

Vyhodnotiť

$$5-3\sqrt{2}\approx 0,757359313$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie \sqrt{2} a 4-\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a \sqrt{2}+1.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

Preveďte menovateľa \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

Zvážte \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Rozšírte exponent \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

Vynásobením 4 a 2 získate 8.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

Odčítajte 4 z 8 a dostanete 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu 4\sqrt{2}-2 každým členom výrazu 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Vynásobením 8 a 2 získate 16.

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Skombinovaním -8\sqrt{2} a -4\sqrt{2} získate -12\sqrt{2}.

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

Sčítaním 16 a 4 získate 20.

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 20-12\sqrt{2} číslom 4 a dostanete 5-3\sqrt{2}.

$$5-3\sqrt{2}$$