Vyriešiť x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Riešenie pre x,y

$$x=14$$

$$y=9$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 21, najmenším spoločným násobkom čísla 7,3.

$$3x+7y=105$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice premennou 14.

$$-x+42y=364$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$3x+7y=105$$

Odčítajte hodnotu 7y od oboch strán rovnice.

$$3x=-7y+105$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Dosaďte -\frac{7y}{3}+35 za x v druhej rovnici -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Vynásobte číslo -1 číslom -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Prirátajte \frac{7y}{3} ku 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Prirátajte 35 ku obom stranám rovnice.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{133}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=9$$

V rovnici x=-\frac{7}{3}y+35 dosaďte y za premennú 9. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Vynásobte číslo -\frac{7}{3} číslom 9.

$$x=-21+35$$

Prirátajte 35 ku -21.

$$x=14$$

Systém je vyriešený.

$$x=14,y=9$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 21, najmenším spoločným násobkom čísla 7,3.

$$3x+7y=105$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice premennou 14.

$$-x+42y=364$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=14,y=9$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 21, najmenším spoločným násobkom čísla 7,3.

$$3x+7y=105$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice premennou 14.

$$-x+42y=364$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Ak chcete, aby boli členy 3x a -x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Zjednodušte.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Odčítajte rovnicu -3x+126y=1092 od rovnice -3x-7y=-105 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Prirátajte -3x ku 3x. Členy -3x a 3x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Prirátajte -7y ku -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Prirátajte -105 ku -1092.

$$-133y=-1197$$

Vydeľte obe strany hodnotou -133.

$$y=9$$

V rovnici -x+42y=364 dosaďte y za premennú 9. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-x+42\times 9=364$$

Vynásobte číslo 42 číslom 9.

$$-x+378=364$$

Odčítajte hodnotu 378 od oboch strán rovnice.

$$-x=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$x=14$$

Systém je vyriešený.

$$x=14,y=9$$