Vyriešiť x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Riešenie pre x,y

$$x=15$$

$$y=12$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 20, najmenším spoločným násobkom čísla 5,4.

$$4x=5y$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Dosaďte \frac{5y}{4} za x v druhej rovnici -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Prirátajte -\frac{5y}{4} ku y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Vynásobte obe strany hodnotou -4.

$$y=12$$

V rovnici x=\frac{5}{4}y dosaďte y za premennú 12. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Vynásobte číslo \frac{5}{4} číslom 12.

$$x=15$$

Systém je vyriešený.

$$x=15,y=12$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 20, najmenším spoločným násobkom čísla 5,4.

$$4x=5y$$

Odčítajte 5y z oboch strán.

$$4x-5y=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice premennou 3.

$$y=x-3$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=-3$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=15,y=12$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 20, najmenším spoločným násobkom čísla 5,4.

$$4x=5y$$

Odčítajte 5y z oboch strán.

$$4x-5y=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice premennou 3.

$$y=x-3$$

Odčítajte x z oboch strán.

$$y-x=-3$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a -x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Zjednodušte.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Odčítajte rovnicu -4x+4y=-12 od rovnice -4x+5y=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Prirátajte -4x ku 4x. Členy -4x a 4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$5y-4y=12$$

Prirátajte 5y ku -4y.

$$y=12$$

V rovnici -x+y=-3 dosaďte y za premennú 12. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-x+12=-3$$

Odčítajte hodnotu 12 od oboch strán rovnice.

$$-x=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$x=15$$

Systém je vyriešený.

$$x=15,y=12$$