Vyriešiť frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Vyhodnotiť

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Zvážte \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo i. Umocnite číslo \sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Odčítajte 2 z -1 a dostanete -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu i\sqrt{2}-5 každým členom výrazu i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Vynásobením -i a 2 získate -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Odčítajte 5i z -2i a dostanete -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Skombinovaním -\sqrt{2} a 5\sqrt{2} získate 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Vynásobte čitateľa a menovateľa hodnotou -1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Skutočná časť

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$