Vyriešiť f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Riešenie pre f,g

$$f=10$$

$$g=30$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 33, najmenším spoločným násobkom čísla 11,33.

$$3f=g$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Dosaďte \frac{g}{3} za f v druhej rovnici f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Prirátajte \frac{g}{3} ku g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{4}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$g=30$$

V rovnici f=\frac{1}{3}g dosaďte g za premennú 30. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej f vypočítať priamo.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Vynásobte číslo \frac{1}{3} číslom 30.

$$f=10$$

Systém je vyriešený.

$$f=10,g=30$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 33, najmenším spoločným násobkom čísla 11,33.

$$3f=g$$

Odčítajte g z oboch strán.

$$3f-g=0$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice f a g.

$$f=10,g=30$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 33, najmenším spoločným násobkom čísla 11,33.

$$3f=g$$

Odčítajte g z oboch strán.

$$3f-g=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Ak chcete, aby boli členy 3f a f rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Zjednodušte.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Odčítajte rovnicu 3f+3g=120 od rovnice 3f-g=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Prirátajte 3f ku -3f. Členy 3f a -3f sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-g-3g=-120$$

Prirátajte -g ku -3g.

$$-4g=-120$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$g=30$$

V rovnici f+g=40 dosaďte g za premennú 30. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej f vypočítať priamo.

$$f+30=40$$

Odčítajte hodnotu 30 od oboch strán rovnice.

$$f=10$$

Systém je vyriešený.

$$f=10,g=30$$