Skočiť na hlavný obsah
Vyhodnotiť
Tick mark Image
Derivovať podľa x
Tick mark Image

Podobné úlohy z hľadania na webe

Zdieľať

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)
Pre funkciu f\left(x\right) je derivácia limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, ak sa h blíži k 0, ak takáto limita existuje.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}
Použite vzorec pre sínus súčtu.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}
Vyčleňte \sin(x).
\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Zapíšte limitu.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Použite fakt, že x je konštanta pri rátaní limity, ak h sa blíži ku 0.
\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)
Limita \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} je 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Na vyhodnotenie limity \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} najskôr vynásobte čitateľa a menovateľa číslom \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Vynásobte číslo \cos(h)+1 číslom \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Použite Pytagorovu vetu.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Zapíšte limitu.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Limita \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} je 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Využite skutočnosť, že funkcia \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} je pri hodnote 0 spojitá.
\cos(x)
Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).