Vyriešiť 96/x+4+96/x-11=14

$$\frac { 96 } { x + 4 } + \frac { 96 } { x - 11 } = 14$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{3 \sqrt{2249} + 145}{14} \approx 20,519347744$$

$$x=\frac{145-3\sqrt{2249}}{14}\approx 0,19493797$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -4,11, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-11\right)\left(x+4\right), najmenším spoločným násobkom čísla x+4,x-11.

$$\left(x-11\right)\times 96+\left(x+4\right)\times 96=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-11 a 96.

$$96x-1056+\left(x+4\right)\times 96=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+4 a 96.

$$96x-1056+96x+384=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Skombinovaním 96x a 96x získate 192x.

$$192x-1056+384=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Sčítaním -1056 a 384 získate -672.

$$192x-672=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 14 a x-11.

$$192x-672=\left(14x-154\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 14x-154 a x+4 a zlúčenie podobných členov.

$$192x-672=14x^{2}-98x-616$$

Odčítajte 14x^{2} z oboch strán.

$$192x-672-14x^{2}=-98x-616$$

Pridať položku 98x na obidve snímky.

$$192x-672-14x^{2}+98x=-616$$

Skombinovaním 192x a 98x získate 290x.

$$290x-672-14x^{2}=-616$$

Pridať položku 616 na obidve snímky.

$$290x-672-14x^{2}+616=0$$

Sčítaním -672 a 616 získate -56.

$$290x-56-14x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-14x^{2}+290x-56=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -14 za a, 290 za b a -56 za c.

$$x=\frac{-290±\sqrt{290^{2}-4\left(-14\right)\left(-56\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Umocnite číslo 290.

$$x=\frac{-290±\sqrt{84100-4\left(-14\right)\left(-56\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -14.

$$x=\frac{-290±\sqrt{84100+56\left(-56\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Vynásobte číslo 56 číslom -56.

$$x=\frac{-290±\sqrt{84100-3136}}{2\left(-14\right)}$$

Prirátajte 84100 ku -3136.

$$x=\frac{-290±\sqrt{80964}}{2\left(-14\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 80964.

$$x=\frac{-290±6\sqrt{2249}}{2\left(-14\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -14.

$$x=\frac{-290±6\sqrt{2249}}{-28}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-290±6\sqrt{2249}}{-28}, keď ± je plus. Prirátajte -290 ku 6\sqrt{2249}.

$$x=\frac{6\sqrt{2249}-290}{-28}$$

Vydeľte číslo -290+6\sqrt{2249} číslom -28.

$$x=\frac{145-3\sqrt{2249}}{14}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-290±6\sqrt{2249}}{-28}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6\sqrt{2249} od čísla -290.

$$x=\frac{-6\sqrt{2249}-290}{-28}$$

Vydeľte číslo -290-6\sqrt{2249} číslom -28.

$$x=\frac{3\sqrt{2249}+145}{14}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{145-3\sqrt{2249}}{14} x=\frac{3\sqrt{2249}+145}{14}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -4,11, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-11\right)\left(x+4\right), najmenším spoločným násobkom čísla x+4,x-11.

$$\left(x-11\right)\times 96+\left(x+4\right)\times 96=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-11 a 96.

$$96x-1056+\left(x+4\right)\times 96=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x+4 a 96.

$$96x-1056+96x+384=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Skombinovaním 96x a 96x získate 192x.

$$192x-1056+384=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Sčítaním -1056 a 384 získate -672.

$$192x-672=14\left(x-11\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 14 a x-11.

$$192x-672=\left(14x-154\right)\left(x+4\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 14x-154 a x+4 a zlúčenie podobných členov.

$$192x-672=14x^{2}-98x-616$$

Odčítajte 14x^{2} z oboch strán.

$$192x-672-14x^{2}=-98x-616$$

Pridať položku 98x na obidve snímky.

$$192x-672-14x^{2}+98x=-616$$

Skombinovaním 192x a 98x získate 290x.

$$290x-672-14x^{2}=-616$$

Pridať položku 672 na obidve snímky.

$$290x-14x^{2}=-616+672$$

Sčítaním -616 a 672 získate 56.

$$290x-14x^{2}=56$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+290x=56$$

Vydeľte obe strany hodnotou -14.

$$\frac{-14x^{2}+290x}{-14}=\frac{56}{-14}$$

Delenie číslom -14 ruší násobenie číslom -14.

$$x^{2}+\frac{290}{-14}x=\frac{56}{-14}$$

Vykráťte zlomok \frac{290}{-14} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{145}{7}x=\frac{56}{-14}$$

Vydeľte číslo 56 číslom -14.

$$x^{2}-\frac{145}{7}x=-4$$

Číslo -\frac{145}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{145}{14}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{145}{14}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{145}{7}x+\left(-\frac{145}{14}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{145}{14}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{145}{14} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{145}{7}x+\frac{21025}{196}=-4+\frac{21025}{196}$$

Prirátajte -4 ku \frac{21025}{196}.

$$x^{2}-\frac{145}{7}x+\frac{21025}{196}=\frac{20241}{196}$$

Rozložte x^{2}-\frac{145}{7}x+\frac{21025}{196} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{145}{14}\right)^{2}=\frac{20241}{196}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{145}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{20241}{196}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{145}{14}=\frac{3\sqrt{2249}}{14} x-\frac{145}{14}=-\frac{3\sqrt{2249}}{14}$$

Prirátajte \frac{145}{14} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3\sqrt{2249}+145}{14} x=\frac{145-3\sqrt{2249}}{14}$$