Vyriešiť 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Riešenie pre x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -15,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 4x\left(x+15\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4x+60 a 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Vynásobením 4 a 75 získate 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Vynásobením 4 a \frac{1}{4} získate 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Skombinovaním 300x a 15x získate 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Odčítajte 315x z oboch strán.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Skombinovaním 300x a -315x získate -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx+4500. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -15.

$$a=60 b=-75$$

Zapíšte -x^{2}-15x+4500 ako výraz \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Vyčleňte x v prvej a 75 v druhej skupine.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Vyberte spoločný člen -x+60 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte -x+60=0 a x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -15,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 4x\left(x+15\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4x+60 a 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Vynásobením 4 a 75 získate 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Vynásobením 4 a \frac{1}{4} získate 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Skombinovaním 300x a 15x získate 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Odčítajte 315x z oboch strán.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Skombinovaním 300x a -315x získate -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, -15 za b a 4500 za c.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 225 ku 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Opak čísla -15 je 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{15±135}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte 15 ku 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Vydeľte číslo 150 číslom -2.

$$x=-75$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{15±135}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 135 od čísla 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Vydeľte číslo -120 číslom -2.

$$x=60$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-75 x=60$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -15,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 4x\left(x+15\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4x+60 a 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Vynásobením 4 a 75 získate 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Vynásobením 4 a \frac{1}{4} získate 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Skombinovaním 300x a 15x získate 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Odčítajte 315x z oboch strán.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Skombinovaním 300x a -315x získate -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Odčítajte 4500 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Vydeľte číslo -15 číslom -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Vydeľte číslo -4500 číslom -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Číslo 15, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{15}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{15}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{15}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Prirátajte 4500 ku \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Rozložte výraz x^{2}+15x+\frac{225}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{15}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=60 x=-75$$