Vyriešiť frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Riešenie pre k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vynásobte obe strany rovnice číslom 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, najmenším spoločným násobkom čísla \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(k^{2}+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 6 a k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(3k^{2}-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9k^{4}-6k^{2}+1, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Skombinovaním 6k^{4} a -9k^{4} získate -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Skombinovaním 12k^{2} a 6k^{2} získate 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Odčítajte 1 z 6 a dostanete 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(3k^{2}+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 5 a 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Odčítajte 45k^{4} z oboch strán.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Skombinovaním -12k^{4} a -45k^{4} získate -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Odčítajte 30k^{2} z oboch strán.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Skombinovaním 72k^{2} a -30k^{2} získate 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Odčítajte 5 z 20 a dostanete 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Náhrada t za k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte -57 výrazom a, 42 výrazom b a 15 výrazom c.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-42±72}{-114}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Keďže k=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením k=±\sqrt{t} pre každé t.

$$k=1 k=-1$$