Vyriešiť frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Postup riešenia

Rozložte 27=3^{2}\times 3 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu súčinu \sqrt{3^{2}\times 3} ako súčin druhých odmocnín \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Preveďte menovateľa \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Zvážte \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 4. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Odčítajte 3 z 16 a dostanete 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu 6+3\sqrt{3} každým členom výrazu 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Skombinovaním 6\sqrt{3} a 12\sqrt{3} získate 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Vynásobením 3 a 3 získate 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Sčítaním 24 a 9 získate 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$