Vyriešiť frac{5-sqrt{7}}{5+sqrt{7}}+frac{5+sqrt{7}}{5-sqrt{7}}

$$\frac { 5 - \sqrt { 7 } } { 5 + \sqrt { 7 } } + \frac { 5 + \sqrt { 7 } } { 5 - \sqrt { 7 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{32}{9}\approx 3,555555556$$

Kroky krátkeho riešenia

Preveďte menovateľa \frac{5-\sqrt{7}}{5+\sqrt{7}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 5-\sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Zvážte \left(5+\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Umocnite číslo 5. Umocnite číslo \sqrt{7}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{25-7}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Odčítajte 7 z 25 a dostanete 18.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5-\sqrt{7}\right)}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Vynásobením 5-\sqrt{7} a 5-\sqrt{7} získate \left(5-\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Na rozloženie výrazu \left(5-\sqrt{7}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Druhá mocnina \sqrt{7} je 7.

$$\frac{25-10\sqrt{7}+7}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Sčítaním 25 a 7 získate 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$$

Preveďte menovateľa \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 5+\sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{\left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}$$

Zvážte \left(5-\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{7}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 5. Umocnite číslo \sqrt{7}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{25-7}$$

Odčítajte 7 z 25 a dostanete 18.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)\left(5+\sqrt{7}\right)}{18}$$

Vynásobením 5+\sqrt{7} a 5+\sqrt{7} získate \left(5+\sqrt{7}\right)^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{\left(5+\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Na rozloženie výrazu \left(5+\sqrt{7}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^{2}}{18}$$

Druhá mocnina \sqrt{7} je 7.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{25+10\sqrt{7}+7}{18}$$

Sčítaním 25 a 7 získate 32.

$$\frac{32-10\sqrt{7}}{18}+\frac{32+10\sqrt{7}}{18}$$

Keďže \frac{32-10\sqrt{7}}{18} a \frac{32+10\sqrt{7}}{18} majú rovnakého menovateľa, sčítajte ich sčítaním čitateľov.

$$\frac{32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7}}{18}$$

Vo výraze 32-10\sqrt{7}+32+10\sqrt{7} urobte výpočty.

$$\frac{64}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{64}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$\frac{32}{9}$$

Rozložiť na faktory

$$\frac{2 ^ {5}}{3 ^ {2}} = 3\frac{5}{9} = 3,5555555555555554$$