Vyriešiť frac{5+sqrt{3}}{5-sqrt{3}}

$$\frac { 5 + \sqrt { 3 } } { 5 - \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{5\sqrt{3}+14}{11}\approx 2,060023094$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{5+\sqrt{3}}{5-\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 5+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{\left(5-\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}$$

Zvážte \left(5-\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 5. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{25-3}$$

Odčítajte 3 z 25 a dostanete 22.

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)\left(5+\sqrt{3}\right)}{22}$$

Vynásobením 5+\sqrt{3} a 5+\sqrt{3} získate \left(5+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5+\sqrt{3}\right)^{2}}{22}$$

Na rozloženie výrazu \left(5+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{25+10\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{22}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$\frac{25+10\sqrt{3}+3}{22}$$

Sčítaním 25 a 3 získate 28.

$$\frac{28+10\sqrt{3}}{22}$$