Vyriešiť 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Riešenie pre x

$$x=2$$

$$x=12$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt 0,6, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x-6\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-6 a 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Skombinovaním 4x a x\times 4 získate 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Pridať položku 6x na obidve snímky.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Skombinovaním 8x a 6x získate 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx-24. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Keďže ab je kladná, a a b majú rovnaké znamienko. Keďže a+b je kladná, a a b sú pozitívne. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 14.

$$a=12 b=2$$

Zapíšte -x^{2}+14x-24 ako výraz \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Vyčleňte -x v prvej a 2 v druhej skupine.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Vyberte spoločný člen x-12 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-12=0 a -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt 0,6, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x-6\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-6 a 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Skombinovaním 4x a x\times 4 získate 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Pridať položku 6x na obidve snímky.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Skombinovaním 8x a 6x získate 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -1 za a, 14 za b a -24 za c.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Umocnite číslo 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 4 číslom -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Prirátajte 196 ku -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-14±10}{-2}, keď ± je plus. Prirátajte -14 ku 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Vydeľte číslo -4 číslom -2.

$$x=2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-14±10}{-2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10 od čísla -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Vydeľte číslo -24 číslom -2.

$$x=12$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=2 x=12$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt 0,6, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom x\left(x-6\right), najmenším spoločným násobkom čísla x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-6 a 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Skombinovaním 4x a x\times 4 získate 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Pridať položku 6x na obidve snímky.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Skombinovaním 8x a 6x získate 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Pridať položku 24 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$14x-x^{2}=24$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Delenie číslom -1 ruší násobenie číslom -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Vydeľte číslo 14 číslom -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Vydeľte číslo 24 číslom -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Číslo -14, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -7. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -7. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Umocnite číslo -7.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Prirátajte -24 ku 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Rozložte výraz x^{2}-14x+49 na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Zjednodušte.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$x=12 x=2$$