Vyriešiť frac{3+sqrt{15}}{3-sqrt{15}}

$$\frac { 3 + \sqrt { 15 } } { 3 - \sqrt { 15 } }$$

Vyhodnotiť

$$-\sqrt{15}-4\approx -7,872983346$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{3+\sqrt{15}}{3-\sqrt{15}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 3+\sqrt{15}.

$$\frac{\left(3+\sqrt{15}\right)\left(3+\sqrt{15}\right)}{\left(3-\sqrt{15}\right)\left(3+\sqrt{15}\right)}$$

Zvážte \left(3-\sqrt{15}\right)\left(3+\sqrt{15}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3+\sqrt{15}\right)\left(3+\sqrt{15}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 3. Umocnite číslo \sqrt{15}.

$$\frac{\left(3+\sqrt{15}\right)\left(3+\sqrt{15}\right)}{9-15}$$

Odčítajte 15 z 9 a dostanete -6.

$$\frac{\left(3+\sqrt{15}\right)\left(3+\sqrt{15}\right)}{-6}$$

Vynásobením 3+\sqrt{15} a 3+\sqrt{15} získate \left(3+\sqrt{15}\right)^{2}.

$$\frac{\left(3+\sqrt{15}\right)^{2}}{-6}$$

Na rozloženie výrazu \left(3+\sqrt{15}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{15}+\left(\sqrt{15}\right)^{2}}{-6}$$

Druhá mocnina \sqrt{15} je 15.

$$\frac{9+6\sqrt{15}+15}{-6}$$

Sčítaním 9 a 15 získate 24.

$$\frac{24+6\sqrt{15}}{-6}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 24+6\sqrt{15} číslom -6 a dostanete -4-\sqrt{15}.

$$-4-\sqrt{15}$$