Vyriešiť 2x/x^2-100=2/15

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

Riešenie pre x

$$x=-5$$

$$x=20$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -10,10, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), najmenším spoločným násobkom čísla x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Vynásobením 15 a 2 získate 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 2x-20 a x+10 a zlúčenie podobných členov.

$$30x=2x^{2}-200$$

Odčítajte 2x^{2} z oboch strán.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Pridať položku 200 na obidve snímky.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$15x-x^{2}+100=0$$

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -x^{2}+ax+bx+100. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -100.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 15 súčtu.

$$a=20 b=-5$$

Zapíšte -x^{2}+15x+100 ako výraz \left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

-x na prvej skupine a -5 v druhá skupina.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

Vyberte spoločný člen x-20 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-20=0 a -x-5=0.

$$x=20 x=-5$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -10,10, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), najmenším spoločným násobkom čísla x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Vynásobením 15 a 2 získate 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 2x-20 a x+10 a zlúčenie podobných členov.

$$30x=2x^{2}-200$$

Odčítajte 2x^{2} z oboch strán.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Pridať položku 200 na obidve snímky.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -2 za a, 30 za b a 200 za c.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Umocnite číslo 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 8 číslom 200.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

Prirátajte 900 ku 1600.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2500.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -2.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-30±50}{-4}, keď ± je plus. Prirátajte -30 ku 50.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Vydeľte číslo 20 číslom -4.

$$x=-5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-30±50}{-4}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 50 od čísla -30.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

Vydeľte číslo -80 číslom -4.

$$x=20$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-5 x=20$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -10,10, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 15\left(x-10\right)\left(x+10\right), najmenším spoločným násobkom čísla x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Vynásobením 15 a 2 získate 30.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a x-10.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 2x-20 a x+10 a zlúčenie podobných členov.

$$30x=2x^{2}-200$$

Odčítajte 2x^{2} z oboch strán.

$$30x-2x^{2}=-200$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

Delenie číslom -2 ruší násobenie číslom -2.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

Vydeľte číslo 30 číslom -2.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

Vydeľte číslo -200 číslom -2.

$$x^{2}-15x=100$$

Číslo -15, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{15}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{15}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{15}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

Prirátajte 100 ku \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

Rozložte x^{2}-15x+\frac{225}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

Prirátajte \frac{15}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=20 x=-5$$