Vyriešiť 2/sqrt{2-2}+frac{sqrt{2}+1}{sqrt{2}-1}-frac{sqrt{32}}{2}

$$\frac { 2 } { \sqrt { 2 } - 2 } + \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { \sqrt { 2 } - 1 } - \frac { \sqrt { 32 } } { 2 }$$

Vyhodnotiť

$$1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{2}{\sqrt{2}-2} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{2}+2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right)}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Zvážte \left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}+2\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Umocnite číslo \sqrt{2}. Umocnite číslo 2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{2-4}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Odčítajte 4 z 2 a dostanete -2.

$$\frac{2\left(\sqrt{2}+2\right)}{-2}+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vykráťte -2 a -2.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{2}+1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Zvážte \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Umocnite číslo \sqrt{2}. Umocnite číslo 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Odčítajte 1 z 2 a dostanete 1.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{1}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Výsledkom delenia ľubovoľného čísla jednotkou je dané číslo.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Vynásobením \sqrt{2}+1 a \sqrt{2}+1 získate \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{\sqrt{32}}{2}$$

Rozložte 32=4^{2}\times 2 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu produktu \sqrt{4^{2}\times 2} ako súčin štvorca korene \sqrt{4^{2}}\sqrt{2}. Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4^{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}$$

Vydeľte číslo 4\sqrt{2} číslom 2 a dostanete 2\sqrt{2}.

$$-\left(\sqrt{2}+2\right)+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu \sqrt{2}+2, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\sqrt{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{2}+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$-\sqrt{2}-2+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$-\sqrt{2}-2+2+2\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Sčítaním 2 a 1 získate 3.

$$-\sqrt{2}-2+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Sčítaním -2 a 3 získate 1.

$$-\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}$$

Skombinovaním -\sqrt{2} a 2\sqrt{2} získate \sqrt{2}.

$$\sqrt{2}+1-2\sqrt{2}$$

Skombinovaním \sqrt{2} a -2\sqrt{2} získate -\sqrt{2}.

$$-\sqrt{2}+1$$

Rozložiť na faktory

$$1-\sqrt{2}$$