Vyriešiť frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Vyhodnotiť

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Zvážte \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 2. Umocnite číslo \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Odčítajte 5 z 4 a dostanete -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Vynásobením 2+\sqrt{5} a 2+\sqrt{5} získate \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Sčítaním 4 a 5 získate 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Vydelením čísla -1 dostaneme opačné číslo. Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu 9+4\sqrt{5}, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$-9-4\sqrt{5}$$