Vyriešiť frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Riešenie pre b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Postup riešenia lineárnej rovnice

Preveďte menovateľa \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Zvážte \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Umocnite číslo 2. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Odčítajte 3 z 4 a dostanete 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Výsledkom delenia ľubovoľného čísla jednotkou je dané číslo.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Vynásobením 2+\sqrt{3} a 2+\sqrt{3} získate \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Sčítaním 4 a 3 získate 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Odčítajte a z oboch strán.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Rovnica je v štandardnom formáte.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Vydeľte obe strany hodnotou \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Delenie číslom \sqrt{3} ruší násobenie číslom \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Vydeľte číslo 4\sqrt{3}-a+7 číslom \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Riešenie pre a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$