Vyriešiť frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotiť

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Zvážte \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 2. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Odčítajte 3 z 4 a dostanete 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}$$

Výsledkom delenia ľubovoľného čísla jednotkou je dané číslo.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)$$

Vynásobením 2+\sqrt{3} a 2+\sqrt{3} získate \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(2+\sqrt{3}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Sčítaním 4 a 3 získate 7.

$$7+4\sqrt{3}$$