Vyriešiť frac{2+sqrt{2}}{3+sqrt{2}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 3 + \sqrt { 2 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{\sqrt{2}+4}{7}\approx 0,77345908$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{2+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 3-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}$$

Zvážte \left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{3^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo 3. Umocnite číslo \sqrt{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{9-2}$$

Odčítajte 2 z 9 a dostanete 7.

$$\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}{7}$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu 2+\sqrt{2} každým členom výrazu 3-\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Skombinovaním -2\sqrt{2} a 3\sqrt{2} získate \sqrt{2}.

$$\frac{6+\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{7}$$

Druhá mocnina \sqrt{2} je 2.

$$\frac{6+\sqrt{2}-2}{7}$$

Odčítajte 2 z 6 a dostanete 4.

$$\frac{4+\sqrt{2}}{7}$$

Rozložiť na faktory

$$\frac{\sqrt{2} + 4}{7} = 0,7734590803390136$$