Vyriešiť 1/x-1-x/x+1-2=0

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1,387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0,72075922$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -1,1, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-1\right)\left(x+1\right), najmenším spoločným násobkom čísla x-1,x+1.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-1 a x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}-x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Skombinovaním x a x získate 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-1 a x+1 a zlúčenie podobných členov.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2}-1 a -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Skombinovaním -x^{2} a -2x^{2} získate -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Sčítaním 1 a 2 získate 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 2 za b a 3 za c.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 4 ku 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -2 ku 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Vydeľte číslo -2+2\sqrt{10} číslom -6.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{10} od čísla -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

Vydeľte číslo -2-2\sqrt{10} číslom -6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -1,1, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom \left(x-1\right)\left(x+1\right), najmenším spoločným násobkom čísla x-1,x+1.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x-1 a x.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu x^{2}-x, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Skombinovaním x a x získate 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov x-1 a x+1 a zlúčenie podobných členov.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2}-1 a -2.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

Skombinovaním -x^{2} a -2x^{2} získate -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

Sčítaním 1 a 2 získate 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

Odčítajte 3 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$2x-3x^{2}=-3$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=-3$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

Vydeľte číslo 2 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

Vydeľte číslo -3 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

Číslo -\frac{2}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Prirátajte 1 ku \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$