Vyriešiť 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Riešenie pre x

$$x=-1$$

Postup riešenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -8,-5,-2,1, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), najmenším spoločným násobkom čísla x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 21 a x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 21x+105 a x+8 a zlúčenie podobných členov.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 21 a x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 21x-21 a x+8 a zlúčenie podobných členov.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Skombinovaním 21x^{2} a 21x^{2} získate 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Skombinovaním 273x a 147x získate 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Odčítajte 168 z 840 a dostanete 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 21 a x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 21x+42 a x-1 a zlúčenie podobných členov.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Skombinovaním 42x^{2} a 21x^{2} získate 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Skombinovaním 420x a 21x získate 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Odčítajte 42 z 672 a dostanete 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 7 a x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 7x+14 a x+5 a zlúčenie podobných členov.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 7x^{2}+49x+70 a x+8 a zlúčenie podobných členov.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Vynásobením 21 a -\frac{1}{21} získate -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -1 a x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -x+1 a x+2 a zlúčenie podobných členov.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -x^{2}-x+2 a x+5 a zlúčenie podobných členov.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov -x^{3}-6x^{2}-3x+10 a x+8 a zlúčenie podobných členov.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Skombinovaním 7x^{3} a -14x^{3} získate -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Skombinovaním 105x^{2} a -51x^{2} získate 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Skombinovaním 462x a -14x získate 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Sčítaním 560 a 80 získate 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Pridať položku 7x^{3} na obidve snímky.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Odčítajte 54x^{2} z oboch strán.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Skombinovaním 63x^{2} a -54x^{2} získate 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Odčítajte 448x z oboch strán.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Skombinovaním 441x a -448x získate -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Odčítajte 640 z oboch strán.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Odčítajte 640 z 630 a dostanete -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Pridať položku x^{4} na obidve snímky.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Zmeňte usporiadanie rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -10 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 číslom x-1 a dostanete x^{3}+8x^{2}+17x+10. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 10 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 1. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo x^{3}+8x^{2}+17x+10 číslom x+1 a dostanete x^{2}+7x+10. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 1 výrazom a, 7 výrazom b a 10 výrazom c.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Vyriešte rovnicu x^{2}+7x+10=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-5 x=-2$$

Odstráňte hodnoty, ktorým sa premenná nemôže rovnať.

$$x=-1$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt 1,-5,-2.

$$x=-1$$