Vyriešiť 1/4x+2sqrt{x}+15=x

$$\frac { 1 } { 4 } x + 2 \sqrt { x } + 15 = x$$

Riešenie pre x

$$x=36$$

Postup riešenia

Odčítajte hodnotu \frac{1}{4}x+15 od oboch strán rovnice.

$$2\sqrt{x}=x-\left(\frac{1}{4}x+15\right)$$

Ak chcete nájsť opačnú hodnotu k výrazu \frac{1}{4}x+15, nájdite opačnú hodnotu jednotlivých členov.

$$2\sqrt{x}=x-\frac{1}{4}x-15$$

Skombinovaním x a -\frac{1}{4}x získate \frac{3}{4}x.

$$2\sqrt{x}=\frac{3}{4}x-15$$

Umocnite obe strany rovnice.

$$\left(2\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\frac{3}{4}x-15\right)^{2}$$

Rozšírte exponent \left(2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\frac{3}{4}x-15\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 2 a dostanete 4.

$$4\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\frac{3}{4}x-15\right)^{2}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla \sqrt{x} a dostanete x.

$$4x=\left(\frac{3}{4}x-15\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\frac{3}{4}x-15\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$4x=\frac{9}{16}x^{2}-\frac{45}{2}x+225$$

Odčítajte \frac{9}{16}x^{2} z oboch strán.

$$4x-\frac{9}{16}x^{2}=-\frac{45}{2}x+225$$

Pridať položku \frac{45}{2}x na obidve snímky.

$$4x-\frac{9}{16}x^{2}+\frac{45}{2}x=225$$

Skombinovaním 4x a \frac{45}{2}x získate \frac{53}{2}x.

$$\frac{53}{2}x-\frac{9}{16}x^{2}=225$$

Odčítajte 225 z oboch strán.

$$\frac{53}{2}x-\frac{9}{16}x^{2}-225=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-\frac{9}{16}x^{2}+\frac{53}{2}x-225=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -\frac{9}{16} za a, \frac{53}{2} za b a -225 za c.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±\sqrt{\left(\frac{53}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{9}{16}\right)\left(-225\right)}}{2\left(-\frac{9}{16}\right)}$$

Umocnite zlomok \frac{53}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±\sqrt{\frac{2809}{4}-4\left(-\frac{9}{16}\right)\left(-225\right)}}{2\left(-\frac{9}{16}\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -\frac{9}{16}.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±\sqrt{\frac{2809}{4}+\frac{9}{4}\left(-225\right)}}{2\left(-\frac{9}{16}\right)}$$

Vynásobte číslo \frac{9}{4} číslom -225.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±\sqrt{\frac{2809-2025}{4}}}{2\left(-\frac{9}{16}\right)}$$

Prirátajte \frac{2809}{4} ku -\frac{2025}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±\sqrt{196}}{2\left(-\frac{9}{16}\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 196.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±14}{2\left(-\frac{9}{16}\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -\frac{9}{16}.

$$x=\frac{-\frac{53}{2}±14}{-\frac{9}{8}}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{53}{2}±14}{-\frac{9}{8}}, keď ± je plus. Prirátajte -\frac{53}{2} ku 14.

$$x=-\frac{\frac{25}{2}}{-\frac{9}{8}}$$

Vydeľte číslo -\frac{25}{2} zlomkom -\frac{9}{8} tak, že číslo -\frac{25}{2} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{9}{8}.

$$x=\frac{100}{9}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-\frac{53}{2}±14}{-\frac{9}{8}}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 14 od čísla -\frac{53}{2}.

$$x=-\frac{\frac{81}{2}}{-\frac{9}{8}}$$

Vydeľte číslo -\frac{81}{2} zlomkom -\frac{9}{8} tak, že číslo -\frac{81}{2} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku -\frac{9}{8}.

$$x=36$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{100}{9} x=36$$

Dosadí \frac{100}{9} za x v rovnici \frac{1}{4}x+2\sqrt{x}+15=x.

$$\frac{1}{4}\times \frac{100}{9}+2\sqrt{\frac{100}{9}}+15=\frac{100}{9}$$

Zjednodušte. Hodnota x=\frac{100}{9} nespĺňa rovnicu.

$$\frac{220}{9}=\frac{100}{9}$$

Dosadí 36 za x v rovnici \frac{1}{4}x+2\sqrt{x}+15=x.

$$\frac{1}{4}\times 36+2\sqrt{36}+15=36$$

Zjednodušte. Hodnota x=36 vyhovuje rovnici.

$$36=36$$

Rovnica 2\sqrt{x}=\frac{3x}{4}-15 má jedinečné riešenie.

$$x=36$$