Vyriešiť 1/15x^2-3/10x+1/3=0

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Riešenie pre x

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte \frac{1}{15} za a, -\frac{3}{10} za b a \frac{1}{3} za c.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Vynásobte číslo -4 číslom \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Vynásobte zlomok -\frac{4}{15} zlomkom \frac{1}{3} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Prirátajte \frac{9}{100} ku -\frac{4}{45} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla \frac{1}{900}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Opak čísla -\frac{3}{10} je \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Vynásobte číslo 2 číslom \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}, keď ± je plus. Prirátajte \frac{3}{10} ku \frac{1}{30} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

Vydeľte číslo \frac{1}{3} zlomkom \frac{2}{15} tak, že číslo \frac{1}{3} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{2}{15}.

$$x=\frac{5}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}, keď ± je mínus. Odčítajte zlomok \frac{1}{30} od zlomku \frac{3}{10} tak, že nájdete spoločného menovateľa a odčítate čitateľov. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

Vydeľte číslo \frac{4}{15} zlomkom \frac{2}{15} tak, že číslo \frac{4}{15} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{2}{15}.

$$x=2$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{3} od oboch strán rovnice.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Výsledkom odčítania čísla \frac{1}{3} od seba samého bude 0.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

Vynásobte obe strany hodnotou 15.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Delenie číslom \frac{1}{15} ruší násobenie číslom \frac{1}{15}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Vydeľte číslo -\frac{3}{10} zlomkom \frac{1}{15} tak, že číslo -\frac{3}{10} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Vydeľte číslo -\frac{1}{3} zlomkom \frac{1}{15} tak, že číslo -\frac{1}{3} vynásobíte prevrátenou hodnotou zlomku \frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

Číslo -\frac{9}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{9}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{9}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{9}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

Prirátajte -5 ku \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

Rozložte výraz x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

Prirátajte \frac{9}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$