Vyriešiť frac{sqrt{7}+sqrt{5}}{sqrt{7}-sqrt{5}}+frac{sqrt{7}-sqrt{5}}{sqrt{7}+sqrt{5}}=

$$\frac { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } + \frac { \sqrt { 7 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } + \sqrt { 5 } } =$$

Vyhodnotiť

$$12$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{7}+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Zvážte \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Umocnite číslo \sqrt{7}. Umocnite číslo \sqrt{5}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Odčítajte 5 z 7 a dostanete 2.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Vynásobením \sqrt{7}+\sqrt{5} a \sqrt{7}+\sqrt{5} získate \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Druhá mocnina \sqrt{7} je 7.

$$\frac{7+2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Ak chcete vynásobiť \sqrt{7} a \sqrt{5}, vynásobte čísla pod druhú odmocninu.

$$\frac{7+2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$\frac{7+2\sqrt{35}+5}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Sčítaním 7 a 5 získate 12.

$$\frac{12+2\sqrt{35}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 12+2\sqrt{35} číslom 2 a dostanete 6+\sqrt{35}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$$

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{7}-\sqrt{5}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}$$

Zvážte \left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo \sqrt{7}. Umocnite číslo \sqrt{5}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}$$

Odčítajte 5 z 7 a dostanete 2.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{2}$$

Vynásobením \sqrt{7}-\sqrt{5} a \sqrt{7}-\sqrt{5} získate \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$6+\sqrt{35}+\frac{\left(\sqrt{7}\right)^{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{7} je 7.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{7}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Ak chcete vynásobiť \sqrt{7} a \sqrt{5}, vynásobte čísla pod druhú odmocninu.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{2}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$6+\sqrt{35}+\frac{7-2\sqrt{35}+5}{2}$$

Sčítaním 7 a 5 získate 12.

$$6+\sqrt{35}+\frac{12-2\sqrt{35}}{2}$$

Vydeľte jednotlivé členy výrazu 12-2\sqrt{35} číslom 2 a dostanete 6-\sqrt{35}.

$$6+\sqrt{35}+6-\sqrt{35}$$

Sčítaním 6 a 6 získate 12.

$$12+\sqrt{35}-\sqrt{35}$$

Skombinovaním \sqrt{35} a -\sqrt{35} získate 0.

$$12$$

Rozložiť na faktory

$$2^{2}\times 3$$