Vyriešiť frac{sqrt{5}}{7-sqrt{20}}

$$\frac { \sqrt { 5 } } { 7 - \sqrt { 20 } }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{7\sqrt{5}+10}{29}\approx 0,884568132$$

Postup riešenia

Rozložte 20=2^{2}\times 5 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu produktu \sqrt{2^{2}\times 5} ako súčin štvorca korene \sqrt{2^{2}}\sqrt{5}. Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2^{2}.

$$\frac{\sqrt{5}}{7-2\sqrt{5}}$$

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{5}}{7-2\sqrt{5}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 7+2\sqrt{5}.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{\left(7-2\sqrt{5}\right)\left(7+2\sqrt{5}\right)}$$

Zvážte \left(7-2\sqrt{5}\right)\left(7+2\sqrt{5}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{7^{2}-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla 7 a dostanete 49.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-\left(-2\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Rozšírte exponent \left(-2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Vypočítajte 2 ako mocninu čísla -2 a dostanete 4.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-4\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-4\times 5}$$

Vynásobením 4 a 5 získate 20.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{49-20}$$

Odčítajte 20 z 49 a dostanete 29.

$$\frac{\sqrt{5}\left(7+2\sqrt{5}\right)}{29}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie \sqrt{5} a 7+2\sqrt{5}.

$$\frac{7\sqrt{5}+2\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{29}$$

Druhá mocnina \sqrt{5} je 5.

$$\frac{7\sqrt{5}+2\times 5}{29}$$

Vynásobením 2 a 5 získate 10.

$$\frac{7\sqrt{5}+10}{29}$$