Vyriešiť frac{sqrt{10}+sqrt{15}}{sqrt{2}+sqrt{3}}

$$\frac { \sqrt { 10 } + \sqrt { 15 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } }$$

Vyhodnotiť

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Postup riešenia

Preveďte menovateľa \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} na racionálne číslo vynásobením čitateľa a menovateľa číslom \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}$$

Zvážte \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right). Násobenie je možné vyjadriť rôznymi mocninami pomocou pravidla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Umocnite číslo \sqrt{2}. Umocnite číslo \sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}$$

Odčítajte 3 z 2 a dostanete -1.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{-1}$$

Vydelením čísla -1 dostaneme opačné číslo.

$$-\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu \sqrt{10}+\sqrt{15} každým členom výrazu \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$-\left(\sqrt{10}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Rozložte 10=2\times 5 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu produktu \sqrt{2\times 5} ako súčin štvorca korene \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$-\left(\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Vynásobením \sqrt{2} a \sqrt{2} získate 2.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Ak chcete \sqrt{10} vynásobte a \sqrt{3}, vynásobte čísla v štvorcových koreňovom priečinku.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Ak chcete \sqrt{15} vynásobte a \sqrt{2}, vynásobte čísla v štvorcových koreňovom priečinku.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{30}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Skombinovaním -\sqrt{30} a \sqrt{30} získate 0.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Rozložte 15=3\times 5 na faktory. Prepíšte druhú odmocninu produktu \sqrt{3\times 5} ako súčin štvorca korene \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\right)$$

Vynásobením \sqrt{3} a \sqrt{3} získate 3.

$$-\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)$$

Skombinovaním 2\sqrt{5} a -3\sqrt{5} získate -\sqrt{5}.

$$-\left(-\sqrt{5}\right)$$

Opak čísla -\sqrt{5} je \sqrt{5}.

$$\sqrt{5}$$