Vyriešiť cosθ

$$\cos \theta$$

Derivovať podľa θ

$$-\sin(\theta )$$

Kroky využívajúce definíciu derivácie

Pre funkciu f\left(x\right) je derivácia limitou výrazu \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, ak sa h blíži k 0, ak takáto limita existuje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Použite vzorec pre kosínus súčtu.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Vyčleňte \cos(\theta ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Zapíšte limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Použite fakt, že \theta je konštanta pri rátaní limity, ak h sa blíži ku 0.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limita \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } je 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

Na vyhodnotenie limity \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} najskôr vynásobte čitateľa a menovateľa číslom \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Vynásobte číslo \cos(h)+1 číslom \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Použite Pytagorovu vetu.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Zapíšte limitu.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limita \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } je 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Využite skutočnosť, že funkcia \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} je pri hodnote 0 spojitá.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Dosaďte hodnotu 0 do výrazu \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ).

$$-\sin(\theta )$$

Vyhodnotiť

$$\cos(\theta )$$