Vyriešiť =20x^4+31x^2-9

$$= 20 x ^ { 4 } + 31 x ^ { 2 } - 9$$

Rozložiť na faktory

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Postup riešenia

Ak chcete výraz faktor, vyriešte rovnicu, v ktorej sa rovná 0.

$$20x^{4}+31x^{2}-9=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu -9 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 20. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{20},±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{20},±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{20},±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=\frac{1}{2}$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 20x^{4}+31x^{2}-9 číslom 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 a dostanete 10x^{3}+5x^{2}+18x+9. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$10x^{3}+5x^{2}+18x+9=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 9 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 10. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{10},±\frac{9}{5},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{10},±\frac{3}{5},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{10},±\frac{1}{5},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 10x^{3}+5x^{2}+18x+9 číslom 2\left(x+\frac{1}{2}\right)=2x+1 a dostanete 5x^{2}+9. Ak chcete vyjadriť výsledok, vyriešte rovnicu, kde sa rovná 0.

$$5x^{2}+9=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 5 výrazom a, 0 výrazom b a 9 výrazom c.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{0±\sqrt{-180}}{10}$$

Súčtom 5x^{2}+9 nie je na činitele, pretože nemá žiadne racionálne korene.

$$5x^{2}+9$$

Prepíšte výraz rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\left(5x^{2}+9\right)$$

Vyhodnotiť

$$20x^{4}+31x^{2}-9$$